【sincostan所有公式】在数学中，sin、cos、tan 是三角函数中最基本的三个函数，它们在几何、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。为了帮助学习者更好地掌握这些函数的定义、性质和相关公式，本文将对 sin、cos、tan 的常用公式进行系统总结，并通过表格形式清晰展示。
一、基本定义
| 函数 | 定义（直角三角形中） | 定义（单位圆中） |
| sinθ | 对边 / 斜边 | y / r |
| cosθ | 邻边 / 斜边 | x / r |
| tanθ | 对边 / 邻边 | y / x |
其中，θ 为角，r 为斜边长度（单位圆中 r=1）。
二、三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正弦余弦关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $, $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ 或 $ \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、其他常见公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦积化和差 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 余弦积化和差 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)] $ |
| 正弦余弦积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
| $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
总结
以上内容涵盖了 sin、cos、tan 的基本定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角以及一些常用的积化和差与和差化积公式。这些公式是解决三角问题的基础工具，建议在学习过程中结合图形理解其几何意义，同时多做练习题以加深记忆和应用能力。
如需进一步了解三角函数的图像、周期性或实际应用，可继续深入研究。
