\[ y' + p(x)y = q(x)y^n \]

其中 \( n \) 是一个实数，且通常 \( n \neq 0, 1 \)。这种方程之所以被称为伯努利方程，是因为它最早由雅各布·伯努利提出。解决这类方程的关键在于通过变量替换将其转化为一个线性微分方程。

求解步骤

1. 标准化方程：首先确保方程符合伯努利方程的标准形式。如果不符合，尝试进行适当的代数变形以达到这一形式。

2. 变量替换：令 \( z = y^{1-n} \)，则 \( z' = (1-n)y^{-n}y' \)。将这个替换代入原方程后，可以得到一个新的线性微分方程：

\[ z' + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x) \]

3. 求解线性方程：现在你面对的是一个一阶线性微分方程，可以使用积分因子法来求解。积分因子 \( \mu(x) \) 定义为：

\[ \mu(x) = e^{\int (1-n)p(x) dx} \]

将积分因子乘以整个方程后，左边将成为一个完全微分，从而可以直接积分。

4. 反向替换：一旦得到了 \( z \) 的解，可以通过 \( y = z^{\frac{1}{1-n}} \) 回到原始变量 \( y \) 的表达式。

5. 验证解：最后，将得到的 \( y \) 代入原方程，确保满足方程。

示例

假设我们有方程：

\[ y' - 2y = 4y^2 \]

这里 \( p(x) = -2 \), \( q(x) = 4 \), \( n = 2 \)。按照上述步骤：

- 替换 \( z = y^{-1} \)，则 \( z' = -y^{-2}y' \)。

- 代入后得到 \( z' + 2z = -4 \)。

- 求积分因子 \( \mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x} \)。

- 解得 \( z = -2e^{-2x} + C e^{-2x} \)。

- 反替换回 \( y \) 得到最终解。

通过这种方法，你可以有效地解决各种形式的伯努利微分方程。记住，关键在于正确的变量替换和后续的线性方程求解过程。